Présentation de la conjecture
La conjecture de Jacobien peut être formulée de manière concrète sur les nombres complexes comme suit. Soit une application polynomiale en variables complexes, dont le jacobien est une constante non nulle. Alors l'application est inversible (avec une inverse polynomiale). La condition que le jacobien soit non nul est équivalente à l'inversibilité locale. Cela signifie que l'application est localement inversible, c'est-à-dire qu'il existe une inverse locale pour chaque point de l'espace de définition.
Contexte technique
Récemment, il a été démontré (en utilisant l'IA Fable) que la conjecture est fausse en trois dimensions (et donc en dimensions supérieures). Le contre-exemple peut être énoncé explicitement : on peut prendre une application polynomiale qui a un jacobien constant non nul, mais qui n'est pas inversible. La conjecture reste ouverte en deux dimensions et est facile à établir en une dimension.
Implications et limites
L'exemple a été expliqué rétroactivement en termes géométriques. Pour comprendre ce contre-exemple, on peut utiliser la formulation d'injectivité locale et généraliser le domaine à une variété affine équivalente. On cherche à trouver des données qui satisfont trois propriétés séparées : l'injectivité locale, la non-injectivité globale et l'isomorphisme avec l'espace affine. Il s'avère que les données peuvent être construites à partir de l'opération de multiplication de polynômes de faible degré.
Analyse scientifique
La carte de multiplication, essentiellement une carte de l'espace des polynômes linéaires homogènes à deux variables complexes vers l'espace des polynômes cubiques homogènes, est clairement polynomiale. La carte possède deux symétries de base (et qui commutent) : la symétrie d'échelle et la symétrie de changement de variables. Le domaine à cinq dimensions est plus grand que l'espace image à quatre dimensions, donc la carte ne peut pas être injective. Cela peut déjà être vu à partir de la symétrie d'échelle, car les échelages spécifiques modifient les polynômes linéaires et quadratiques mais pas leur produit. Pour établir l'injectivité locale, on peut utiliser l'action de Möbius sur les racines des polynômes et montrer que, localement, on peut reconstruire les polynômes d'origine à partir de leur produit.
Theorem 2 (Counterexample to conjecture)
There exists a polynomial which has non-zero constant Jacobian, but is not invertible.
Cependant, la condition d'isomorphisme avec l'espace affine échoue pour la variété à quatre dimensions. On peut essayer de contourner cela en passant à une tranche tridimensionnelle. Cela nécessite une analyse plus approfondie des propriétés de l'application polynomiale et de ses relations avec les variétés affines sous-jacentes.
