Double catégories : formalisation du lemme de Yoneda via les profunctors

Contexte et définitions fondamentales

Dans une double catégorie, les 0‑cellules représentent des catégories, les 1‑cellules verticales sont des foncteurs et les 1‑cellules horizontales sont des profunctors. Le passage d’un foncteur à un profunctor s’opère par les deux constructions classiques de companion et de conjoint. Le proarrow equipment fournit le cadre où ces deux notions cohabitent et où chaque profunctor possède un classificateur vertical, c’est‑à‑dire un foncteur qui le représente via une 2‑cellule cartésienne.

Les présheaves, habituellement définies comme des foncteurs Set^{C^{op}}, ne sont pas directement accessibles dans une double catégorie, car on ne dispose pas d’objets internes aux 0‑cellules. La solution consiste à remplacer les ensembles‑cibles par des objets ‑valués dans la catégorie des profunctors, et à exprimer les actions de présheaves comme des flèches horizontales de la forme J → I, où I et J sont des 0‑cellules.

Construction de l’embedding de Yoneda

Le point de départ est le profunctor unité hom_C : C ⇢ C. Son classificateur vertical est le foncteur de Yoneda y_C : C → [C^{op},Set]. La 2‑cellule qui réalise cette classification s’écrit, en notation de double catégorie, comme une flèche verticale y_C accompagnée d’une cellule cartésienne qui « courbe » le profunctor unité vers le profunctor d’évaluation. Cette cellule correspond exactement à la définition du companion du foncteur y_C, notée y_C_*.

En développant la notation, on obtient l’égalité suivante : y_C_* ≅ hom_C, ce qui montre que le profunctor d’évaluation est le compagnon du foncteur de Yoneda. Ainsi, l’embedding de Yoneda s’inscrit naturellement dans la structure de l’équipement, sans recourir à des ensembles de morphismes.

Densité, pleine fidélité et adjunction

Un foncteur est dense lorsque son extension de Kan à gauche le long de lui‑même (le density comonad) est isomorphe à l’identité. Dans le cadre des double catégories, cela se traduit par la condition que le Kan à gauche de y_C le long de y_C reproduise le profunctor unité. Cette densité garantit que chaque objet de la catégorie des présheaves s’exprime comme colimite de représentables, exactement comme dans la version classique du lemme de Yoneda.

Le conjoint de y_C joue le rôle de son adjoint à gauche. L’adjonction y_C^⊣ y_C_* fournit deux 2‑cellules : la counité, qui correspond à la moitié du lemme de Yoneda (l’évaluation hom_C → hom_{[C^{op},Set]}), et l’unité, qui doit être un isomorphisme pour obtenir la pleine fidélité. En imposant que cette unité soit inversible, on récupère l’isomorphisme Hom_C(A,B) ≅ Hom_{[C^{op},Set]}(y_C A, y_C B), preuve que l’embedding de Yoneda est pleinement fidèle dans l’équipement.

Contraintes techniques et limites

La construction repose sur la cartesianité des 2‑cellules classifiantes. Sans cette propriété, le curriement du profunctor ne serait pas un isomorphisme, et la densité ne pourrait pas être assurée. De plus, l’inversibilité de l’unité de l’adjonction n’est pas garantie dans un équipement arbitraire ; elle doit être imposée comme axiomatique pour obtenir une « structure Yoneda ». Enfin, l’absence de représentation explicite des objets internes aux 0‑cellules limite la capacité à manipuler concrètement les présheaves, ce qui explique pourquoi l’auteur prévoit une implémentation Haskell dans un article suivant.