Présentation du résultat

Terence Tao a publié un article (arXiv, 2014) qui construit une variante de l’équation de Navier‑Stokes en trois dimensions, dite averaged. Cette variante conserve la loi d’annulation β(u,v,w)=β(u,w,v) et l’identité énergétique ∫|u(t)|^2+2∫_0^t| abla u(s)|_2^2ds=∫|u(0)|^2, tout en restant soumise aux mêmes estimations fonctionnelles que la non‑linéarité originale. Malgré ces similitudes, l’auteur démontre l’existence de solutions qui deviennent infinies en un temps fini.

Construction de l’opérateur moyen

L’opérateur bilinéaire moyen β̃ est défini comme une moyenne 

\tilde{B}(u,v)=\int_{\Omega}\!R_{\omega}\,B\big(M_{\omega}R_{\omega}u,\,M_{\omega}R_{\omega}v\big)\,d\mu(\omega)
ou R_\omega désigne une rotation spatiale, M_\omega un multiplicateur de Fourier d’ordre zéro, et \Omega un espace probabiliste. Chaque composante conserve les bornes usuelles sur les espaces de Sobolev ou Lebesgue, car les rotations et les multiplicateurs d’ordre zéro sont des opérateurs bornés. La cancellation β̃(u,u,u)=0 persiste, garantissant l’identité énergétique.

Mécanisme de blow‑up

L’auteur montre que, lorsqu’on restreint β̃ à une combinaison finie d’opérateurs de cascade locale, l’équation se réduit à un système d’ODE pour les coefficients d’ondelet a_n(t) :

da_n/dt = a_{n-1}^2 - \lambda^{-2} a_n a_{n+1} - \nu \lambda^{2n} a_n

Le terme quadratique possède un facteur λ^{-2} qui domine la dissipation proportionnelle à λ^{2n}. Cette hiérarchie crée un transfert d’énergie rapide vers des modes de plus haute fréquence. En choisissant des conditions initiales où un mode intermédiaire possède une amplitude suffisante, on peut montrer que l’énergie s’accumule exponentiellement dans les modes supérieurs, entraînant une singularité en un temps T~O(1).

Conséquences pour la barrière supercritique

Le résultat invalide toute stratégie de régularité globale qui se fonde uniquement sur l’identité énergétique et des estimations de type ∫|\nabla^k u|^p. En effet, l’opérateur moyen partage exactement ces propriétés, mais il admet quand même une explosion finie. Ainsi, la preuve doit exploiter une structure exclusive à la non‑linéarité originale, comme la dépendance purement différentielle du terme de vorticité ou des symétries spécifiques du tenseur de convection. Cette observation renforce la notion de « barrière supercritique » : sans un usage finement ciblé de la géométrie du flot, le problème de régularité reste inaccessible.

Le travail s’inscrit dans une série de constructions antérieures (Montgomery‑Smith, Gallagher‑Paicu, Li‑Sinai, Katz‑Pavlovic, Cheskidov) qui prouvent le blow‑up pour des modèles sans identité énergétique ou dans des dimensions supérieures. La nouveauté réside dans le respect simultané de la conservation d’énergie et de la dimension physique trois‑d.