Contexte et adoption de Lean
Lean a été créé en 2013 par Leo de Moura chez Microsoft, qui a ensuite publié le code sous licence open‑source. Cette décision a permis à la communauté académique de contribuer librement, ce qui a favorisé son adoption comme assistant de preuve le plus répandu parmi les mathématiciens. Le système repose sur le Calculus of Inductive Constructions (CIC), une forme de théorie des types qui empêche la formation d’entités paradoxales comme le paradoxe de Russell.
Échelle de la bibliothèque mathlib
Depuis 2017, le projet mathlib, initié par Mario Carneiro et Johannes Hölzl, a atteint près de 300 000 théorèmes, plus de 100 000 définitions et environ 2,5 M lignes de code, avec la participation de plus de 700 contributeurs. Chaque définition ou théorème peut être réutilisé directement dans de nouvelles démonstrations, ce qui réduit le besoin de reprover des résultats classiques comme l’inégalité de Cauchy‑Schwarz.
Autoformalisation par IA : jalons récents
Le passage de la transcription manuelle à l’auto‑formalisation a été marqué par plusieurs projets en 2025‑2026. En septembre 2025, Math Inc. a produit une « quasi‑auto‑formalisation » du théorème des nombres premiers, nécessitant encore une supervision humaine. En janvier 2026, J. Urban a publié un pré‑print décrivant 130 k lignes de topologie formalisées en deux semaines, démontrant la capacité des modèles de langage à générer du code Lean à grande vitesse. En mars 2026, Math Inc. a auto‑formalise le problème d’empilement de sphères en 24 dimensions, générant initialement 500 k lignes de code, puis réduites à 200 k après optimisation. En mai 2026, le groupe Meta/Facebook Research a lancé ATLAS, qui a converti une partie substantielle de 26 manuels de mathématiques en preuves formelles. Le 4 septembre 2026, Anthropic a annoncé l’auto‑formalisation du dernier théorème de Fermat, produisant 13 M lignes de Lean en 11 jours. Le même jour, OpenAI a publié une formalisation du résultat de Navier‑Stokes avec forçage. Enfin, le 8 septembre 2026, Jared Lichtman a présenté le projet MAP (Mathematics Autoformalization Project), dont l’objectif déclaré est de traduire « tout le mathématicien connu » en code formel, avec une ambition de plusieurs billions de lignes.
Fiabilité et limites du système
La fiabilité de Lean repose sur la petite taille de son noyau de vérification, qui implémente le CIC de façon exhaustive. Chaque ligne de code générée par une IA doit passer par ce noyau, garantissant que les preuves restent logiquement valides même si le processus de génération comporte des erreurs. Cependant, la dépendance à des modèles de langage introduit des risques : les systèmes peuvent produire des fragments de code syntaxiquement corrects mais sémantiquement incohérents, nécessitant une relecture humaine. De plus, la taille croissante de mathlib rend la compilation plus lourde, ce qui peut ralentir les cycles de vérification. Enfin, l’absence de standards de certification pour les modèles d’auto‑formalisation signifie que la communauté doit encore établir des protocoles de validation indépendants.
