Présentation du problème
Il y a quelques semaines, des événements intéressants se sont produits dans le monde de la formalisation et des outils d'IA, notamment en ce qui concerne les contre-exemples. Le 20 mai 2026, ChatGPT a réfuté la conjecture d'Erdős sur la distance unitaire en géométrie discrète, en utilisant un théorème profond de la théorie des nombres dû à Golod et Shafarevich.
Fonctionnement de la preuve
La preuve se base sur la construction d'un contre-exemple à la conjecture, en utilisant le théorème de Golod et Shafarevich. Cependant, la preuve originale n'était pas formalisée en Lean, un langage de preuve formel. Mais sous une semaine, Mike Freedman, de Logical Intelligence, a informé que leur système avait auto-formalisé la preuve en Lean.
import mathlibLa formalisation de la preuve a été réalisée en utilisant le système de Logical Intelligence, qui a traduit la preuve de ChatGPT en Lean. Cela a permis de vérifier la preuve et de la rendre plus robuste.
Implications et limites
Cependant, il y a un éléphant dans la pièce : le théorème de Golod et Shafarevich nécessite plus de 100 pages pour être prouvé, et il est difficile à compresser. Mais grâce à l'utilisation de l'IA, il a été possible de formaliser la preuve en Lean, en utilisant le système de Logical Intelligence.
De plus, l'utilisation de l'IA a permis de trouver des contre-exemples à des conjectures mathématiques, comme la conjecture de Grothendieck sur les groupes de schémas finis. Cela montre que l'IA peut être utilisée pour faire avancer les mathématiques, en trouvant des preuves et des contre-exemples.
Conclusion
En conclusion, les mathématiciens humains sont surpassés par les contre-exemples, grâce à l'utilisation de l'IA. Les outils d'IA, comme ChatGPT et Sol, peuvent être utilisés pour trouver des preuves et des contre-exemples, et pour formaliser les preuves en Lean. Cela ouvre de nouvelles perspectives pour les mathématiques, et montre que l'IA peut être utilisée pour faire avancer la discipline.
