Contexte du problème
En l'an 2000, le Clay Mathematics Institute a publié les sept problèmes du prix Millénaire, chacun assorti d'un prix d'un million de dollars. Le problème de Navier–Stokes figure parmi ces sept. L'énoncé officiel exige une démonstration de l'existence et de la régularité des solutions globales en trois dimensions pour le système d'équations décrivant les fluides incompressibles. Aucun document fourni par le lien indiqué ne précise d'avancement récent, ce qui laisse le problème dans son état initial.
Formulation mathématique
Le système s'écrit ∂_t u + (u·∇)u = -∇p + νΔu et ∇·u = 0, où u(x,t) représente le champ de vitesse, p(x,t) la pression, et ν la viscosité cinématique. Les conditions initiales u(x,0)=u₀(x) sont imposées sur ℝ³ ou sur un domaine borné avec conditions aux limites appropriées. La question porte sur la possibilité d'obtenir, pour tout u₀ lisse et divergenceless, une solution u qui reste lisse pour tout t ≥ 0.
Résultats connus et limites
Depuis 1934, Leray a construit des solutions faibles globales, mais leur unicité et leur régularité restent non prouvées en 3D. En deux dimensions, les travaux de Ladyzhenskaya (1963) garantissent l'existence de solutions lisses. Les contributions de Caffarelli, Kohn et Nirenberg (1982) montrent que les singularités, si elles existent, sont confinées à un ensemble de dimension fractale ≤ 1. Aucun de ces résultats n'étend la régularité à l'ensemble du domaine 3D, ce qui confirme la difficulté du problème.
Tentatives récentes
Des annonces de preuves complètes ont circulé entre 2014 et 2023, notamment sur des forums de prépublications. Chaque fois, la communauté a relevé des lacunes dans les arguments de continuité ou de contrôle des normes H¹. Aucun article n'a survécu à l'examen par les pairs, et le site source ne fournit aucune version préprint ou rapport technique. Les approches numériques, telles que les simulations de turbulence à haute résolution, illustrent les comportements singuliers mais ne constituent pas une preuve formelle.
Implications et perspectives
Une résolution affirmative garantirait la stabilité théorique des modèles de dynamique des fluides utilisés en aéronautique, en météorologie et en ingénierie. À défaut, les ingénieurs continuent de s'appuyer sur des schémas de discrétisation et des modèles de turbulence empirique, dont la validité dépend de hypothèses non démontrées. L'absence de données supplémentaires dans la source rend impossible d'évaluer un éventuel progrès concret depuis la publication initiale du problème.
