Contexte historique

Le problème initial consiste à résoudre deux équations linéaires dont aucune combinaison d’entiers réels ne satisfait simultanément les contraintes. En appliquant la formule quadratique on obtient un discriminant égal à -108, ce qui impose la racine carrée d’un nombre négatif. Cette impossibilité a conduit le mathématicien italien Gerolamo Cardano (1545) à introduire, de façon provisoire, des quantités dont le carré est négatif. Cardano décrivit ces « artifices » comme des étapes intermédiaires sans signification réelle. Quelques décennies plus tard, René Descartes qualifia ces quantités d’« imaginaire », les reléguant à une curiosité sans usage pratique.

Construction algébrique

Le passage de l’équation linéaire à une forme quadratique s’effectue en isolant y dans la première équation, puis en substituant dans la seconde, ce qui conduit à x² - 6x + 36 = 0. En appliquant la formule x = [-b ± √(b²‑4ac)]/(2a) avec a = 1, b = ‑6 et c = 36, le terme sous la racine devient b²‑4ac = 36‑144 = ‑108. L’apparition du terme √‑108 montre que le système ne possède aucune solution dans ℝ. Cardano, en poursuivant les manipulations algébriques avec √‑15 dans un problème différent, constata que les parties imaginaires s’annulaient finalement, laissant un résultat réel. Cette observation justifie l’introduction d’un symbole capable de représenter √‑1.

Interprétation géométrique

Le mathématicien suisse Leonhard Euler introduisit le symbole i pour désigner √‑1. Plus tard, Jean‑Robert Argand et Caspar Wessel proposèrent une représentation plane où l’axe horizontal porte les nombres réels et l’axe vertical les multiples de i. Dans ce modèle, multiplier un nombre réel par i correspond à une rotation de 90 ° dans le sens trigonométrique, car i² = ‑1 équivaut à une rotation de 180 °. Ainsi, i représente la moitié de cette rotation, plaçant le point 1 sur l’axe imaginaire à la position i. Cette géométrisation transforme la droite numérique unidimensionnelle en un plan bidimensionnel, chaque nombre complexe a + bi devenant un vecteur (a, b).

Implications et limites

La formalisation des nombres complexes a permis de résoudre des équations polynomiales de degré supérieur, d’étendre le calcul différentiel et d’appliquer la théorie des fonctions à la physique (par exemple, en électromagnétisme où les champs oscillants sont exprimés sous forme exponentielle e^{iθ}). Cependant, la construction repose sur l’acceptation d’une dimension supplémentaire qui n’a pas d’interprétation directe dans le monde réel ; elle reste un outil abstrait. De plus, la manipulation de racines négatives nécessite une discipline stricte pour éviter les erreurs de signe, surtout dans les algorithmes numériques où la précision flottante peut introduire des artefacts.