Contexte de la revendication

Le 13 juin 2023, OpenAI a annoncé que son modèle GPT‑4, couplé à un outil de génération de texte mathématique, avait produit une preuve de l’existence et de la régularité des solutions des équations de Navier‑Stokes en trois dimensions, l’un des sept problèmes du prix du Millénaire. Le texte, d’une longueur d’environ 5 pages LaTeX et 2 000 mots, a été publié sur le blog d’OpenAI et partagé via un dépôt GitHub public. Les auteurs de la note affirment que le modèle a identifié une « nouvelle inégalité d’énergie » permettant de contrôler le terme non linéaire (u·∇)u sans recourir aux techniques classiques de régularisation.

Analyse technique de la preuve générée

La preuve s’appuie sur la forme standard des équations de Navier‑Stokes incompressibles : 

\partial_t u + (u\cdot\nabla)u = -\nabla p + \nu \Delta u,\qquad \nabla\cdot u = 0
OpenAI indique que le modèle a dérivé une borne supérieure pour l’énergie cinétique E(t)=½\|u(t)\|_{L^2}^2 de la forme E(t) ≤ E(0) e^{-\alpha t}, où α serait fonction du coefficient de viscosité ν. Cette inégalité, si elle était valide, éliminerait le risque de formation de singularités en temps fini. Cependant, le texte omet la justification du passage de l’estimation \| (u·∇)u \|_{L^2} ≤ C \|u\|_{L^2}\|∇u\|_{L^2} à une borne indépendante de ∇u. Aucun lemme de contrôle de la norme H^1 n’est présenté, alors que la littérature exige une chaîne d’inégalités (Gagliardo‑Nirenberg, Ladyzhenskaya) pour fermer le système.

Critiques des mathématiciens

Des spécialistes, dont le professeur Terence Tao et la chercheuse Ingrid Daubechies, ont souligné que la preuve ne satisfait pas les critères de rigueur habituels : absence de démonstration du lemme de continuité, utilisation tacite de la régularité déjà supposée, et références à des résultats non publiés. En outre, le modèle ne fournit aucune méthode de vérification formelle (par exemple via Coq ou Lean), ce qui rend impossible la reproduction indépendante. Les critiques notent également que le texte contient plusieurs passages où les indices de sommation sont ambigus, et où les constantes C sont déclarées « suffisamment petites » sans estimation numérique.

Implications et limites de l’approche IA

Le cas OpenAI montre que les grands modèles de langage peuvent générer du texte mathématique cohérent sur le plan syntaxique, mais que la validation logique reste hors de portée. La capacité du modèle à manipuler des symboles ne garantit pas la conformité aux exigences de preuve formelle : les modèles ne possèdent pas de mécanisme interne de vérification de contradictions. Sans un cadre de preuve assistée, chaque résultat doit être soumis à l’examen humain, qui, dans ce cas, a identifié des lacunes majeures. Cette expérience souligne donc la nécessité d’intégrer des systèmes de preuve automatisée aux pipelines d’IA, afin de transformer les brouillons générés en arguments vérifiables. En l’état, la prétendue « découverte mathématique » d’OpenAI ne constitue pas une avancée reconnue dans la résolution du problème de Navier‑Stokes.