Définition et représentation polaire
Une racine n-ième de l'unité est tout nombre complexe z tel que z^n = 1, avec n entier positif. En coordonnées polaires, tout point du cercle unité s’écrit e^{iθ}=cosθ+i\sinθ, où |z|=1. En imposant (e^{iθ})^n = e^{i nθ}=1, on obtient nθ = 2πk avec k∈ℤ, d’où θ = 2πk/n. Ainsi les n racines sont exactement les n valeurs e^{2π i k/n} pour k=0,…,n-1.
Cette formule montre que chaque racine possède une magnitude égale à 1 et un argument régulièrement espacé de 2π/n radians. La périodicité de l’exponentielle complexe garantit que les n valeurs sont distinctes et couvrent uniformément le cercle unité.
Exemples et géométrie des polygones réguliers
Pour n=2, les racines sont 1 et -1, situées aux points (1,0) et (-1,0). Pour n=3, on obtient 1, e^{2π i/3}=‑½+ i√3/2 et e^{4π i/3}=‑½‑ i√3/2, formant les sommets d’un triangle équilatéral inscrit. Pour n=4, les racines sont 1, i, -1, -i, qui sont les sommets d’un carré. En général, relier successivement les n points e^{2π i k/n} crée un polygone régulier à n côtés, chaque côté ayant la même longueur et chaque angle central égal à 2π/n.
Cette construction repose sur le fait que les segments reliant l’origine aux racines sont tous de longueur 1 et que les angles entre deux segments consécutifs sont identiques. Ainsi, les racines de l’unité offrent une méthode géométrique directe pour tracer des polygones réguliers de n côtés.
Structure de groupe et générateurs primitifs
L’ensemble des n‑racines de l’unité, muni de la multiplication complexe, satisfait les axiomes d’un groupe : fermeture (le produit de deux racines reste une racine), identité (1), associativité (héritée de ℂ) et existence d’inverses (le conjugué ou la puissance n‑1). Le groupe est abélien, car la multiplication complexe commute.
Ce groupe est cyclique : tout élément peut s’écrire comme une puissance d’une racine primitive ζ = e^{2π i /n}. Un générateur ζ^k est primitive si et seulement si k est premier avec n (pgcd(k,n)=1). Par exemple, pour n=6, les générateurs sont ζ^1 et ζ^5, tandis que ζ^2 ou ζ^3 ne génèrent qu’un sous‑ensemble.
Sommes et bases orthogonales
La somme de toutes les n‑racines de l’unité forme une série géométrique de premier terme 1 et de raison r = e^{2π i /n}≠1, dont la somme vaut (1‑r^n)/(1‑r)=0. Ainsi, les vecteurs représentant les racines s’annulent mutuellement. De même, la somme ∑_{k=0}^{n-1} (ζ^m)^k vaut 0 lorsque n ne divise pas m, et vaut n lorsque n|m, car chaque terme devient 1.
Ces propriétés impliquent que les vecteurs (ζ^k)^j, pour j=0,…,n-1, constituent une base orthogonale dans ℂ^n. Chaque puissance agit comme un vecteur de phase distincte, et l’ensemble des puissances forme une base de Fourier discrète, utilisée en analyse de signaux et en algèbre linéaire.
