Estimation du nombre de chiffres

Une formule simple donne une bonne approximation du nombre de décimales d’un factoriel : 

digits(n!) ≈ n·log10(n/e) + 2
Pour n=52, n/e≈20, log10(20)≈1,3, ce qui conduit à 52·1,3+2≈69 chiffres. La valeur exacte est 68, l’erreur ne dépasse qu’un chiffre même pour des n très grands.

Lien avec la fonction Gamma

La fonction Gamma, définie pour n>0 par 

Γ(n)=∫₀^∞ x^{n‑1} e^{‑x} dx
, possède la propriété fondamentale :

Γ(n+1)=n·Γ(n)

Cette identité provient d’une intégration par parties :

u = x^n, v = -e^{‑x}
du = n x^{n‑1}dx, dv = e^{‑x}dx

Γ(n+1)=∫₀^∞ x^n e^{‑x}dx
      =[-x^n e^{‑x}]₀^∞ + n∫₀^∞ x^{n‑1}e^{‑x}dx
      =n·Γ(n)

En posant Γ(1)=1, on obtient par récurrence Γ(n+1)=n! ; la fonction Gamma prolonge donc le factoriel aux réels.

Stirling et la méthode de Laplace

En réécrivant n! à partir de Γ(n+1) et en posant x=ny, on arrive à

n! = n·e^{n·ln n} ∫₀^∞ e^{n(ln y‑y)} dy

Cette intégrale a la forme ∫ e^{n f(y)} dy. La méthode de Laplace indique que, pour n grand, l’intégrale est dominée par le maximum de f. Ici f(y)=ln y‑y possède un maximum unique en y₀=1, avec f(y₀)=‑1 et f''(y₀)=‑1. En appliquant la formule de Laplace :

∫₀^∞ e^{n(ln y‑y)} dy ≈ √(2π/n)·e^{‑n}

On retrouve la célèbre approximation de Stirling :

n! ≈ √(2π n)·(n/e)^n

En prenant le logarithme décimal, on obtient le nombre de chiffres :

digits(n!) ≈ log₁₀(√(2π n)) + n·log₁₀(n/e)

Le premier terme devient négligeable quand n croît, mais il ajoute jusqu’à deux chiffres pour n < 1600 et trois chiffres jusqu’à n≈160 000. Ainsi, la formule simplifiée n·log₁₀(n/e)+2 reste très précise dans la plupart des cas pratiques.

Précision et limites

L’estimation repose sur deux hypothèses : la validité de Stirling pour le n considéré et l’approximation de Laplace qui néglige les termes d’ordre supérieur. Pour des n modestes (par exemple n=5), l’erreur peut atteindre plusieurs dizaines de chiffres, mais dès n≥20, l’écart se réduit à moins d’une unité. Aucun chiffre exact n’est fourni dans l’article au‑delà de l’exemple 52!, ce qui limite la vérification empirique.